求单源最短路

一、求正权图的单源最短路

对于求正权图的单源最短路问题,我们一般使用Dijistra算法求解

Dijistra算法

Dijistra算法的基本思想是贪心。

我们可以先把所有点的距离设为一个无穷大的数,然后将起始点的disdis设为一,每次找一个disdis最小并且没有被标记过的点,然后将这个点打上标记,查询这个边所有的出边,设原点为ii,这条出边对应的点为jj,这条边的边权为vv,则当disi+v<disjdis_i+v<dis_j时更新disjdis_j的值,当所有边都被标记时,从这个点到其它点的最短路就都求出来了。

代码实现-时间复杂度O(n2)O(n^2)
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#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<array>
#include<bitset>
using namespace std;
using gg=long long;
array<gg,200010> nxt,to,val;
array<gg,100010> head,dis;
bitset<100010> fl;
gg cnt=0;
void add(const gg &x,const gg &y,const gg &v) //链式前向星存图
{
cnt++;
nxt[cnt]=head[x];
head[x]=cnt;
to[cnt]=y;
val[cnt]=v;
return;
}
int main()
{
gg n,m,x,y,v; //n个点,m条边
cin>>n>>m;
while(m--) //建图
{
cin>>x>>y>>v;
add(x,y,v);
}
for(gg i=1;i<=n+1;i++) dis[i]=114514114514;
dis[1]=0;
while(1)
{
gg x=n+1;
for(gg i=1;i<=n;i++)
{
if(dis[x]>dis[i]&&fl[i]==false)
{
x=i;
}
}
if(x==n+1) break;
fl[x]=true;
for(gg i=head[x];i;i=nxt[i])
{
if(dis[x]+val[i]<dis[to[i]])
{
dis[to[i]]=dis[x]+val[i];
}
}
}
for(gg i=1;i<=n;i++)
{
cout<<dis[i]<<'\n';
}
return 0;
}

这时候,细心的同学可能已经发现了嗷——这个找dis最小值的操作完全可以使用STL中的优先队列实现

改进后代码-时间复杂度O(nlogn)O(nlogn)
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#include<iostream>
#include<array>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<queue>
#include<utility>
using namespace std;
using gg=long long;
array<gg,400010> nxt,to,val;
array<gg,200010> head,dis;
bitset<200010> fl;
priority_queue<pair<gg,gg>,vector<pair<gg,gg>>,greater<pair<gg,gg>>> list;
gg cnt=0;
void add(const gg &fr,const gg &t,const gg &v)
{
cnt++;
to[cnt]=t;
nxt[cnt]=head[fr];
head[fr]=cnt;
val[cnt]=v;
return;
}
int main()
{
gg n,m,x,z,y,s;
cin>>n>>m>>s;
for(gg i=1;i<=m;i++)
{
cin>>x>>y>>z;
add(x,y,z);
}
for(gg i=1;i<=n;i++)
{
dis[i]=114514114514;
}
dis[s]=0;
list.push(make_pair(0,s));
while(!list.empty())
{
gg poi=list.top().second;
list.pop();
if(fl[poi]) continue;
fl[poi]=true;
for(gg i=head[poi];i;i=nxt[i])
{
if(dis[poi]+val[i]<dis[to[i]])
{
dis[to[i]]=dis[poi]+val[i];
list.push(make_pair(dis[to[i]],to[i]));
}
}
}
for(gg i=1;i<=n;i++)
{
cout<<dis[i]<<' ';
}
cout<<'\n';
return 0;
}

Dijistra练习题

洛谷P4779 【模板】单源最短路径(标准版)

二、求带负边的单源最短路

如果图中存在负边,Dijistra算法就不能用了,因为其中的判断会不断加上这条负边从而出现更小的数,这个时候,就是著名的SPFA算法出场的时候了!

SPFA算法

SPFA算法维护一个队列,首先把起点处的disdis更新为0,其余初始化为无穷大,并将起点加入队列中,打上标记。每次取出队头的一个点,并把这个点的标记消除,扫描这个点的所有出边,设原点为ii,这条出边对应的点为jj,这条边的边权为vv,则当disi+v<disjdis_i+v<dis_j时更新disjdis_j的值并查看点j是否在队列中,如果不在就将点j加入队列,并打上标记。当队列为空时,就求出了原点到各个点的最短路。

注意:SPFA在应对随机数据时为O(kn)O(kn)的时间复杂度,其中kk是一个较小的数,但当数据为特殊构造时,此算法的时间复杂度会被卡到O(nm)O(nm),因此使用此算法时应三思而后行

代码实现
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#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<array>
#include<queue>
#include<bitset>
using namespace std;
using gg=long long;
array<gg,200010> nxt,to,val;
array<gg,100010> head,dis;
bitset<100010> fl;
queue<gg> list;
gg cnt=0;
void add(const gg &x,const gg &y,const gg &v) //链式前向星存图
{
cnt++;
nxt[cnt]=head[x];
head[x]=cnt;
to[cnt]=y;
val[cnt]=v;
return;
}
int main()
{
gg n,m,x,y,v; //n个点,m条边
cin>>n>>m;
while(m--) //建图
{
cin>>x>>y>>v;
add(x,y,v);
}
for(gg i=1;i<=n+1;i++) dis[i]=114514114514; //初始化
dis[1]=0;
list.push(1);
fl[1]=true;
while(!list.empty()) //SPFA
{
gg p=list.front();
list.pop();
fl[p]=false;
for(gg i=head[p];i;i=nxt[i])
{
if(dis[p]+val[i]<dis[to[i]])
{
dis[to[i]]=dis[p]+val[i];
if(!fl[to[i]]) list.push(to[i]),fl[to[i]]=true;
}
}
}
for(gg i=1;i<=n;i++)
{
cout<<dis[i]<<'\n';
}
return 0;
}

感谢阅读!